Question

已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=    ．

Answer

由于题目问的是f（2010），项数较大，故马上判断函数势必是周期函数，所以集中精力找周期即可；周期的寻找方法可以是不完全归纳推理出，也可以是演绎推理得出．
【解析】
取x=1，y=0得
法一：根据已知知
取x=1，y=1得f（2）=-（）
取x=2，y=1得f（3）=-（）
取x=2，y=2得f（4）=-（）
取x=3，y=2得f（5）=-（）
取x=3，y=3得f（6）=（）
猜想得周期为6
法二：取x=1，y=0得
取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），
同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）
联立得f（n+2）=-f（n-1）
所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）
所以函数是周期函数，周期T=6，
故f（2010）=f（0）=