2009-2010学年湖北省部分重点中学高三1月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

计算i（1-i）²等于（ ）
A．2-2i
B．2+2i
C．-2
D．2

2. 难度：中等

过点A（1，1）且与圆x²+y²=2相切的直线方程为（ ）
A．2x-y=1
B．3x-2y=1
C．x+y-2=0
D．x-y=0

3. 难度：中等

“|x-1|＜1”是”log₂x＜1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为棱AB的中点，则异面直线DM与D₁B所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

a₁，a₂，a₃，a₄是各项不为零的等差数列且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为（ ）
A．-4或1
B．1
C．4
D．4或-1

6. 难度：中等

已知：函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，当x＞0时，f（x）=x²-2x，则当x＜0时，f（x）=（ ）
A．x²-2
B．x²-2
C．-x²+2
D．x²+2

7. 难度：中等

已知，则（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a

8. 难度：中等

△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

三棱锥A-BCD的三条侧棱两两互相垂直，且AB=2，AD=，AC=1，则A、B两点在三棱锥的外接球的球面上的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知左右焦点分别为F₁，F₂的椭圆上存在一点P使PF₁⊥PF₂，直线PF₂交椭圆的右准线于M，则线段PM的长为（ ）
A．2a
B．2b
C．2c
D．

二、解答题

11. 难度：中等

已知a＞0，a≠1，若函数在点x=-2处连续，则a=    ．

12. 难度：中等

过抛物线y²=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，过B点作抛物线的准线l的垂线，垂足为C，已知点A（4，4），则直线AC的方程为    ．

13. 难度：中等

设y=f^-1（x）是函数f（x）=2^x+1的反函数，若f^-1（a）+f^-1（b）=0，则a+b的最小值为    ．

14. 难度：中等

北京大学今年实施校长实名推荐制，某中学获得推荐4名学生的资格，校长要从7名优秀学生中推荐4名，7名学生中有2人有体育特长，另有2人有艺术特长，其余3人有其他特长，那么至少含有一名有体育特长和一名有艺术特长的学生的推荐方案有    种（用数字作答）．

15. 难度：中等

对于函数f（x）=|x-2k|（-1+2k＜x≤1+2k，其中k可以取所有整数）下列三种结论中正确的有    （只填你认为正确结论的序号）
①使的x的取值集合为；
②函数f（x）的图象是中心对称图形，点是其对称中心；
③函数f（x）的图象按向量平移得到一个奇函数的图象．

16. 难度：中等

袋中有大小相同的5个球，其中黑球3个，白球2个，甲乙二人分别从中各取一个，甲先取（不放回）乙后取．
（1）分别求甲乙取到黑球的概率；
（2）求两人共取到黑球的个数ξ的数学期望．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=2asinωxcosωx+b（2cos²ωx-1）（ω＞0）在时取最大值2．x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，|x₁-x₂|的最小值为．
（I）求a、b的值；
（II）若，求的值．

18. 难度：中等

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，过D与PB垂直的平面分别交PB、PC于F、E．PD=DC．
（1）求证：DE⊥PC
（2）求证：PA∥平面EDB；
（3）求二面角C-PB-D的大小．

19. 难度：中等

已知：经过点的动圆与y轴交于M、N两点，C（-1，0），D（1，0）是x轴上两点，直线MC与ND相交于P．
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）直线GH交轨迹E于G、H两点，并且（O是坐标原点），求点O到直线GH的距离．

20. 难度：中等

定理：若函数f（x）在闭区间[m，n]上是连续的单调函数，且f（m）f（n）＜0，则存在唯一一个x∈（m，n）使f（x）=0．已知．
（1）若是减函数，求a的取值范围．
（2）是否存在同时成立，若存在，指出c、d之间的等式关系，若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知数列|a_n|满足：，且存在大于1的整数k使．
（1）用k表示m（化成最简形式）；
（2）若m是正整数，求k与m的值；
（3）当k大于7时，试比较7（m-49）与8（k²-k-42）的大小．