第23章《一元二次方程》常考题集（11）：23.2 一元二次方程的解法（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

解方程：2x²+x-2=0（用公式法）

2. 难度：中等

已知a、b、c均为实数且，求方程ax²+bx+c=0的根．

3. 难度：中等

解方程：x²+3x+1=0．

4. 难度：中等

解方程：2x²-6x+1=0

5. 难度：中等

设m为整数，且4＜m＜40，方程x²-2（2m-3）x+4m²-14m+8=0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．

6. 难度：中等

解方程：（x-3）²+4x（x-3）=0．

7. 难度：中等

解方程：（x-3）²+2x（x-3）=0

8. 难度：中等

先化简，再求值：，其中x满足x²-3x+2=0．

9. 难度：中等

已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x²-1=0，②x²+x-2=0，③x²+2x-3=0，…（n）x²+（n-1）x-n=0．
（1）请解上述一元二次方程①、②、③、（n）；
（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．

10. 难度：中等

阅读下面的例题：
解方程：x²-|x|-2=0
【解析】
（1）当x≥0时，原方程化为x²-x-2=0，解得：x₁=2，x₂=-1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x²+x-2=0，解得：x₁=1（不合题意，舍去），x₂=-2
∴原方程的根是x₁=2，x₂=-2．
请参照例题解方程x²-|x-3|-3=0，则此方程的根是______．

11. 难度：中等

解方程：
（1）3（x-2）²=x（x-2）；
（2）2x²-5x+1=0．

12. 难度：中等

解方程：x²-2x-3=0．

13. 难度：中等

已知x=1是一元二次方程（m+1）x²-m²x-2m-1=0的一个根．求m的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式．

14. 难度：中等

解下列一元二次方程：
（1）2x²-8x=0
（2）x²-3x-4=0．

15. 难度：中等

已知a、b、c均为实数，且+|b+1|+（c+3）²=0，求方程ax²+bx+c=0的根．

16. 难度：中等

解方程：3x（x+2）=5（x+2）

17. 难度：中等

阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你在其右边写出正确的解答．
已知：m是关于x的方程mx²-2x+m=0的一个根，求m的值．
【解析】
把x=m代入原方程，化简得m³=m，两边同除以m，得m²=1，
∴m=1，把m=1代入原方程检验可知：m=1符合题意．
答：m的值是1．

18. 难度：中等

解方程
（1）3（x-2）²=x（x-2）；
（2）2x²-5x-3=0．

19. 难度：中等

解下列方程：
（1）x（x-3）-4（3-x）=0；
（2）x²-4x-3=0

20. 难度：中等

解方程：
（1）3（x-3）²+x（x-3）=0；
（2）x²-2x-3=0（用配方法解）

21. 难度：中等

解方程：x（x-6）=2（x-8）

22. 难度：中等

用适当的方法解下列方程：
（1）（3x-1）²=（x+1）²
（2）．

23. 难度：中等

解方程：4+4（1+x）+4（1+x）²=19

24. 难度：中等

解方程：3（x-5）²=2（5-x）

25. 难度：中等

x为何值时，代数式x²-13x+12的值与代数式-4x²+18的值相等？

26. 难度：中等

阅读下面材料：解答问题
为解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我们可以将（x²-1）看作一个整体，然后设x²-1=y，那么原方程可化为y²-5y+4=0，解得y₁=1，y₂=4．当y=1时，x²-1=1，∴x²=2，∴x=±；当y=4时，x²-1=4，∴x²=5，∴x=±，故原方程的解为x₁=，x₂=-，x₃=，x₄=-．
上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程．（x²-x）²-4（x²-x）-12=0．

27. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²+kx-3=0．
（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，用配方法解此一元二次方程．

28. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²+2（k-1）x+k²-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．

29. 难度：中等

当m为何值时，关于x的一元二次方程x²-4x+m-=0有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？