《第1章 图形与证明（二）》2009年综合水平测试卷（B卷）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③
D．①②③④

2. 难度：中等

如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）

A．等边三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形
D．不等边三角形

3. 难度：中等

如图所示，AB=AC，AE=AF，AD⊥BC．则图中全等的三角形有（ ）

A．2对
B．3对
C．4对
D．5对

4. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形．依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（ ）

A．bc-ab+ac+c²
B．ab-bc-ac+c²
C．a²+ab+bc-ac
D．b²-bc+a²-ab

5. 难度：中等

同学们曾玩过万花筒，它是由三块等长的玻璃片围成的．如图，是在万花筒中看到的一个图案．图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成把菱形ABCD以A为旋转中心（ ）

A．顺时针旋转60°得到的
B．顺时针旋转120°得到的
C．逆时针旋转60°得到的
D．逆时针旋转120°得到的

6. 难度：中等

如图所示，正方形ABCD的边长为1，点E在AC上，AE=1，EF⊥AC交BC于F，则下列成立的是（ ）

A．BF=
B．BF=-1
C．BF=
D．BF=（2-1）

7. 难度：中等

能够找到一点，使该点到各边的距离相等的为（ ）
①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．
A．①与②
B．②与③
C．②与④
D．③与④

8. 难度：中等

如图，设F为正方形ABCD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于E，若正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为（ ）

A．20
B．24
C．25
D．26

9. 难度：中等

下列四个命题中，正确的命题共有（ ）
（1）有两底角相等的梯形是等腰梯形；
（2）有两边相等的梯形是等腰梯形；
（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形；
（4）等腰梯形上、下两底边中点的连线垂直于底边．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

10. 难度：中等

梯形上底长为L，中位线长为m，则连接两条对角线中点的线段长为（ ）
A．m-2L
B．-L
C．2m-L
D．m-L

二、填空题

11. 难度：中等

已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=    度．

12. 难度：中等

△ABC中，∠B=∠ACB=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是    cm．

13. 难度：中等

如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，若BE=CD，再增加条件    ，则△ABE≌△ECD．

14. 难度：中等

如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是    ．（填一个即可）

15. 难度：中等

如图所示，工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①所示），使AB=CD，EF=GH．
（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是    ，根据的数学道理是    ．
（3）将直尺紧靠窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④，说明窗框合格，这时窗框是    ，根据的数学道理是    ．

16. 难度：中等

如图所示，以正方形ABCD的对角线AC为边作等边三角形ACE，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于F，则∠DEF=    度．

17. 难度：中等

如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为    ．

18. 难度：中等

等腰梯形的周长为60，腰长为8，对角线长为24，则连接两腰中点与一底中点的线段组成的三角形的周长为    ．

19. 难度：中等

如图，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取OA中点C，OB中点D，测得CD=31.4米，则AB=    米．

20. 难度：中等

如图，直角梯形ABCD的中位线EF=a，垂直于底的腰AB=b，则图中阴影部分△ECD的面积为    ．

三、解答题

21. 难度：中等

小刚设计了一个玩具模型，如图所示，其中AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD、BE相交于点O，为了使图形美观，小刚希望AO恰好平分∠BAC，他的这个愿望能实现吗？请你帮他说明理由．

22. 难度：中等

如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：△BCE≌△ACD；
②求证：CF=CH；
③判断△CFH的形状并说明理由．

23. 难度：中等

如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）

24. 难度：中等

已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．

25. 难度：中等

如图所示，点E、F分别为正方形ABCD边AB、BC的中点，DF、CE交于点M，CE的延长线交DA的延长线于G，试探索：
（1）DF与CE的位置关系；（2）MA与DG的大小关系．

26. 难度：中等

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P是BC上的一个动点，PE⊥AB，PF⊥CD，CM⊥AB，垂足分别为E、F、M，则PE、PF、CM三者间存在怎样的数量关系？证明你的结论．

27. 难度：中等

已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG=（AB+AC+BC）．
若：（1）BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；
（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图3），
则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．

28. 难度：中等

已知：△ABC中，AB=10．
（1）如图①，若点D、E分别是AC、BC边的中点，求DE的长；
（2）如图②，若点A₁，A₂把AC边三等分，过A₁，A₂作AB边的平行线，分别交BC边于点B₁，B₂，求A₁B₁+A₂B₂的值；
（3）如图③，若点A₁，A₂，…，A₁₀把AC边十一等分，过各点作AB边的平行线，分别交BC边于点B₁，B₂，…B₁₀．根据你所发现的规律，直接写出A₁B₁+A₂B₂+…+A₁₀B₁₀的结果．