Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P是BC上的一个动点，PE⊥AB，PF⊥CD，CM⊥AB，垂足分别为E、F、M，则PE、PF、CM三者间存在怎样的数量关系？证明你的结论．

Answer

画图作辅助线PN⊥CM，由题意PE⊥AB，CM⊥AB，所以四边形EPNM为矩形，根据PN∥AB可以得出∠NPC=∠ABC，进而得出∠CPN=∠PCF，有PC为公共边，可以得出Rt△CPN和Rt△PCF全等，即CN=PF，即可得出结论：PE+PF=CM．
【解析】
PE+PF=CM．
证明：如图所示，作PN⊥CM，
∵PE⊥AB，CM⊥AB，∴四边形EPNM为矩形，
∴PE=MN，PN∥AB，
故∠NPC=∠ABC．
由等腰梯形ABCD得∠ABC=∠BCD．
∴∠CPN=∠PCF．
在Rt△CPN和Rt△PCF中，
∠PNC=∠CFP=90°，∠CPN=∠PCF，PC=PC，
∴△CPN≌△PCF，
∴CN=PF，即PE+PF=MN+CN=CM．
解法二：
延长BA、CD交于O，连接PO，
则S△OBC=S△OPB+S△OPC，
即OB×PE+OC×PF=OB×CM，
而由等腰梯形ABCD得：∠ABC=∠DCB，
即OB=OC，
∴PE+PF=CM．