2012年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设非零向量，满足||=||=|+|，则与-的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

3. 难度：中等

如图是表示分别输出1²，1²+3²，1²+3²+5²，…，1²+3²+5²+…+2011²的值的过程的一个程序框图，那么在图中①②处应分别填上（ ）

A．i≤2011？，i=i+1
B．i≤1006？，i=i+1
C．i≤2011？，i=i+2
D．i≤1006？，i=i+2

4. 难度：中等

如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知直线a和平面α，β，α∩β=l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则b和c的位置关系是（ ）
A．相交或平行
B．相交或异面
C．平行或异面
D．相交﹑平行或异面

6. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）
A．
B．（4+π）
C．
D．

7. 难度：中等

某铁路局近日对所属六列高速列车进行编组调度，决定将这六列高速列车编成两组，每组三列，且G1和G2两列列车不在同一小组，如果G1所在小组三列列车先开出，那么这六列列车先后不同的发车顺序共有（ ）
A．162种
B．108种
C．216种
D．432种

8. 难度：中等

在下列结论中，正确的结论是（ ）
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；
③“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；
④“¬p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④

9. 难度：中等

f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（ ）．
A．f（x-1）一定是奇函数
B．f（x-1）一定是偶函数
C．f（x+1）一定是奇函数
D．lgx+lgy一定是偶函数

10. 难度：中等

设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）≥k²成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）²成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
A．若f（1）＜1成立，则f（10）＜100成立
B．若f（2）＜4成立，则f（1）≥1成立
C．若f（3）≥9成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k²成立
D．若f（4）≥25成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k²成立

11. 难度：中等

已知函数则函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

12. 难度：中等

已知点P是椭圆：+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F₁PF₂的角平分线上一点，且•=0，则|OM|的取值范围是（ ）
A．[0，3）
B．（0，2）
C．[2，3）
D．[0，4]

二、解答题

13. 难度：中等

在（n∈N^*）的展开式中，所有项系数的和为-32，则的系数等于    ．

14. 难度：中等

从抛物线y²=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则cos∠MPF=    ．

15. 难度：中等

已知函数的图象在点A（x，y）处的切线斜率为1，则tanx=    ．

16. 难度：中等

设x，y∈（0，2]，已知xy=2，且6-2x-y≥a（2-x）（4-y）恒成立，那么实数a的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知数列的前n项和为S_n，且满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_n，，且数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n的取值范围．

18. 难度：中等

为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加2010年广州亚运会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得出茎叶图如如图所示
（Ⅰ）从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派哪名运动员合适？
（Ⅱ）若将频率视为概率，对甲运动员在今后3次比赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B₁在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（2）若二面角B-AB₁-C₁的余弦值为，设，求λ的值．

20. 难度：中等

已知圆及点C₂（2，0），在圆C₁上任取一点P，连接C₂P，做线段C₂P的中垂线交直线C₁P于点M．
（1）当点P在圆C₁上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）设轨迹E与x轴交于A₁，A₂两点，在轨迹E上任取一点Q（x，y）（y≠0），直线QA₁，QA₂分别交y轴于D，E两点，求证：以线段DE为直径的圆C过两个定点，并求出定点坐标．

21. 难度：中等

设函数f（x）=lnx-ax²-bx．
（Ⅰ）当a=b=时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+ax²+bx+（0＜x≤3），以其图象上任意一点P（x，y）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=-1时，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值．

22. 难度：中等

选修4-1：平面几何
如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6，BC=4，求AE．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，已知曲线，将曲线C₁上所有点横坐标，纵坐标分别伸长为原来的倍和倍后，得到曲线C₂
（1）试写出曲线C₂的参数方程；
（2）在曲线C₂上求点P，使得点P到直线的距离最大，并求距离最大值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|+|2x+2|
（1）解不等式f（x）＜3；   
（2）若不等式f（x）＜a的解集为空集，求实数a的取值范围．