Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B₁在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（2）若二面角B-AB₁-C₁的余弦值为，设，求λ的值．

Answer

（1）取BC中点M，连接B1M，则B1M⊥面ABC，故面BB1C1C⊥面ABC，由BC=面BB1C1C∩面ABC，AC⊥BC，知AC⊥面BB1C1C，由此能够证明面ACC1A1⊥面BCC1B1．
（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，建立空间直角坐标系，设AC=BC=2，B1M=t，则，，，面AB1B法向量，面AB1C1法向量，由此能求出λ的值．
【解析】
（1）取BC中点M，连接B1M，
则B1M⊥面ABC，
∴面BB1C1C⊥面ABC，
∵BC=面BB1C1C∩面ABC，AC⊥BC，
∴AC⊥面BB1C1C，
∵AC⊂面ACC1A1，
∴面ACC1A1⊥面BCC1B1．
（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，
过点C与面ABC垂直方向为oz轴，
建立空间直角坐标系，设AC=BC=2，B1M=t，
∵B1M⊥面ABC，M是BC中点，
∴A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，1，t），C1（0，-1，t），
即，，，
设面AB1B法向量
∵，，
∴，
∴；
设面AB1C1法向量，
∵，，
∴，
∴，
∵二面角B-AB1-C1的余弦值为，
∴cos＜，＞==，
∴解得，
∴BB1==2，
∴AA1=BB1=2，
∴λ===1．