2017届湖南省衡阳市高三下学期第二次联考数学（文）试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（    ）

A.     B. 1    C.     D.

2. 难度：简单

已知集合， ，则“且”成立的充要条件是（    ）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：简单

命题“， 且”的否定形式是（    ）

A. ， 且    B. ， 且

C. ， 或    D. ， 或

4. 难度：简单

已知向量、满足，且， ，则与的夹角为（    ）

A.     B.     C.     D.

5. 难度：简单

如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的， ，则输出的（    ）

A. 2    B. 3    C. 7    D. 14

6. 难度：简单

已知数列为等比数列，且， ，则（    ）

A. 8    B.     C. 64    D.

7. 难度：中等

已知实数、满足，则的最小值是（    ）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

8. 难度：中等

函数的图象大致是（    ）

A.     B.

C.     D.

9. 难度：简单

一组数据共有7个数，记得其中有10、2、5、2、4、2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均值、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为（    ）

A.     B. 3    C. 9    D. 17

10. 难度：中等

已知的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是（    ）

A.     B.     C.     D.

11. 难度：简单

将一张边长为6 cm的纸片按如图l所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置．若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（ ）

A.     B.     C.     D.

12. 难度：中等

已知方程在有且仅有两个不同的解、，则下面结论正确的是（    ）

A.     B.

C.     D.

二、填空题

13. 难度：简单

欧阳修《卖油翁》中写道：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为的圆，中间有边长为的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为__________．

14. 难度：简单

双曲线的两条渐近线为，则它的离心率为__________．

15. 难度：困难

已知函数，若为函数的一个零点，则__________．

16. 难度：压轴

设定义域为的单调函数，对任意，都有，若是方程的一个解，且，则实数__________．

三、解答题

17. 难度：中等

某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查 结果如下表所示：

（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；

（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．

，

18. 难度：中等

已知数列中， ， （， ）.

（1）写出、的值（只写出结果），并求出数列的通项公式；

（2）设，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

19. 难度：中等

已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，为的中点.

（1）在图中作出平面与的交点，并指出点所在位置（不要求给出理由）；

（2）求平面将四棱锥分成上下两部分的体积比.

20. 难度：简单

（本题满分12分）已知椭圆C： 的离心率为， 是椭圆的两个焦点， 是椭圆上任意一点，且的周长是．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设圆T： ，过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，当圆心在轴上移动且时，求EF的斜率的取值范围．

21. 难度：压轴

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）如果对于任意的， 恒成立，求实数的取值范围；

（3）设函数， ，过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列，求数列的所有项之和的值.

22. 难度：简单

选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为，（ 为参数）.

（1）求直线与曲线的直角坐标方程；

（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的最大值.

23. 难度：简单

选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）当时, 解不等式；

（2）若存在,使得成立, 求实数的取值范围.