2017年江苏省南通市高三全真模拟试卷一数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知函数.

（1）设.

①若，曲线在处的切线过点，求的值；

②若，求在区间上的最大值.

（2）设在， 两处取得极值，求证： ， 不同时成立.

2. 难度：困难

若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为.

（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离.

（2）记为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为中的两个元素，且项数均为.若， ，数列和的距离小于2016，求的最大值.

（3）记是所有7项数列（其中， 或）的集合， ，且中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证： 中的元素个数小于或等于16.

3. 难度：简单

【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.[选修4-1：几何证明选讲]

如图， 分别与圆相切于点， ， 经过圆心，且，求证： .

B.[选修4-2：矩阵与变换]

在平面直角坐标系中，已知点， ， ， ，先将正方形绕原点逆时针旋转，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵.

C.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.现以为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求曲线的极坐标方程.

D.[选修4-5：不等式选讲]

已知为互不相等的正实数，求证： .

4. 难度：简单

从集合中，抽取三个不同的元素构成子集.

（1）求对任意的满足的概率；

（2）若成等差数列，设其公差为，求随机变量的分布列与数学期望.

5. 难度：简单

已知数列的前项和为，通项公式为，且.

（1）计算的值；

（2）比较与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.

二、填空题

6. 难度：简单

已知集合，则的子集个数为__________．

7. 难度：简单

已知复数, （其中， 为虚数单位）.若，则的值为__________．

8. 难度：简单

执行如图所示的流程图，则输出的结果__________．

9. 难度：简单

若直线（是自然对数的底数）是曲线的一条切线，则实数的值是__________．

10. 难度：简单

某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．

11. 难度：简单

已知数据的方差为3，若数据， ，…， 的方差为12，则的值为__________．

12. 难度：简单

我们知道，以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的面积之比为1:4，类比该命题得到：以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为__________．

13. 难度：简单

在平面直角坐标系中，如果双曲线的焦距为，那么当任意变化时，的最大值是__________．

14. 难度：中等

已知函数，若方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围为__________．

15. 难度：中等

已知函数，数列是公差为的等差数列，若，则__________．

16. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若直线与圆和圆都相切，且两个圆的圆心均在直线的下方，则直线的斜率为__________．

17. 难度：中等

已知实数，若关于的不等式对任意的都成立，则的最小值为__________．

18. 难度：简单

已知角满足，若，则的值为__________．

19. 难度：中等

将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星.如图所示的正六角星的中心为点，其中分别为点到两个顶点的向量.若将点到正六角星12个顶点的向量都写成的形式，则的最大值为__________．

三、解答题

20. 难度：简单

在平面直角坐标系中，已知点， ，若三点按顺时针方向排列构成等边三角形，且直线与轴交于点.

（1）求的值；

（2）求点的坐标.

21. 难度：简单

如图，在四棱柱中，平面底面，且.

（1）求证： 平面；

（2）求证：平面平面.

22. 难度：中等

已知城和城相距，现计划以为直径的半圆上选择一点（不与点， 重合）建造垃圾处理厂.垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城和城的总影响度为对城与城的影响度之和.记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明：垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比例关系，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比例关系，比例系数为.当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为0.065.

（1）将表示成的函数.

（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断在上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，请说明理由.

23. 难度：中等

已知椭圆的长轴长为， 为坐标原点.

（1）求椭圆的方程和离心率.

（2）设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且点在轴的右侧.若，求四边形面积的最小值.