Question

已知函数.

（1）设.

①若，曲线在处的切线过点，求的值；

②若，求在区间上的最大值.

（2）设在， 两处取得极值，求证： ， 不同时成立.

Answer

（1）①或.②的最大值为0.（2）见解析.

【解析】（1）根据题意，在①中，利用导数的几何意义求出切线方程，再将点代入即求出的值，在②中，通过函数的导数来研究其单调性，并求出其极值，再比较端点值，从而求出最大值；（2）由题意可采用反证法进行证明，假设问题成立，再利用函数的导数来判断函数的单调性，证明其结果与假设产生矛盾，从而问题可得证.

试题解析：（1）当时， .

①若，则，

从而，

故曲线在处的切线方程为 .

将点代入上式并整理得 ，

解得或.

②若，则令，解得或.

（ⅰ）若，则当时， ，

所以为区间上的增函数，

从而的最大值为.

（ii）若，列表：

所以的最大值为.

综上， 的最大值为0.

（2）假设存在实数，使得与同时成立.

不妨设，则.

因为， 为的两个极值点，

所以 .

因为，所以当时， ，

故为区间上的减函数，

从而，这与矛盾，

故假设不成立.

既不存在实数， ， ，使得， 同时成立.

点睛：此题主要考查了有关函数导数的几何意义、以及导数在判断函数单调性、求函数的最值等方面的知识和运算技能，属于中高档题型，也是高频考点.利用导数求函数单调区间的一般步骤：1.确定函数的定义域；2.求导数；3.在函数的定义域内解不等式和；4.根据3的结果确定函数的单调区间.