Question

已知椭圆的长轴长为， 为坐标原点.

（1）求椭圆的方程和离心率.

（2）设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且点在轴的右侧.若，求四边形面积的最小值.

Answer

（1）, ;（2）．

【解析】（1）由已知，将椭圆方程转化为标准形式，确定其长轴、短轴，并求出参数的值，从而求出椭圆方程及其离心率；（2）根据题意结合草图，易知，通过动点的坐标求出点的坐标，将四边形分割成三角形和三角形进行运算即可.

试题解析：（1）由题意知椭圆 ，

所以， ，

故，

解得，

所以椭圆的方程为.

因为，

所以离心率.

（2）设线段的中点为.

因为，所以.

由题意知直线的斜率存在，

设点的坐标为，

则点的坐标为，直线的斜率，

所以直线的斜率，

故直线的方程为.

令，得，故.

由，得，化简得.

因此，

．

当且仅当时，即时等号成立．

故四边形面积的最小值为．