Question

若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为.

（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离.

（2）记为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为中的两个元素，且项数均为.若， ，数列和的距离小于2016，求的最大值.

（3）记是所有7项数列（其中， 或）的集合， ，且中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证： 中的元素个数小于或等于16.

Answer

（1）7;（2）3455;（3）见解析.

【解析】（1）根据题意，将两数列对应代入计算，问题即可得解；（2）由题意，根据递推关系，不难发现数列是以4为周期的数列，由此可确定数列亦为周期数列，由其首项即可知对应数列各项，依据定义当项数越大时，其距离也呈周期性且越大，从而问题可得解；（3）根据题意，这里可以考虑采用反证法来证明，首先假设问题不成立，再通过特殊赋值法，依据定义进行运算，发现与条件相矛盾，从而问题可得证.

试题解析：（1）由题得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为7.

（2）设，其中且.

由，

得， ， ， ，….

所以， ，….

因此集合中的所有数列都具有周期性，且周期为4.

所以数列中， ， ， ， ，

数列中， ， ， ， .

因为，

所以项数越大，数列和的距离越大.

因为，

而 ，

因此，当时， .

故的最大值为3455.

（3）假设中的元素个数大于或等于17.

因为数列中， 或1，

所以仅由数列前三项组成的数组（， ， ）有且只有8个：（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）.

那么这17个元素之中必有3个具有相同的， ， .

设这3个元素分别为： ， ， ， ， ， ， ； ： ， ， ， ， ， ， ； ： ， ， ， ， ， ， ，其中， ， .

因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3，

所以在与中， 至少有3个成立.

不妨设， ， .

由题意得， 中一个等于0，另一个等于1.

又因为或1，所以和中必有一个成立.

同理得： 和中必有一个成立， 和中必有一个成立，

所以“ 中至少有两个成立”和“ 中至少有两个成立”中必有一个成立.

故和中必有一个成立，这与题意矛盾.

所以中的元素个数小于或等于16.