Question

【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.[选修4-1：几何证明选讲]

如图， 分别与圆相切于点， ， 经过圆心，且，求证： .

B.[选修4-2：矩阵与变换]

在平面直角坐标系中，已知点， ， ， ，先将正方形绕原点逆时针旋转，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵.

C.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.现以为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求曲线的极坐标方程.

D.[选修4-5：不等式选讲]

已知为互不相等的正实数，求证： .

Answer

见解析.

【解析】A.根据题意，可以考虑证明，又由，从而问题可得证；B.根据旋转变换矩阵、伸缩变换矩阵以及矩阵乘法的定义进行运算，问题可得解；C.根据题意，以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，再由参数方程经过消参得到一般方程，再由一般方程化为极坐标方程即可；D.根据题意，可考虑使用分析法进行证明即可.

试题解析：A.【解析】
易得，

又，

故，

所以.

又，

故.

B.【解析】
设将正方形绕原点逆时针旋转所对应的矩阵为，

则.

设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变所对应的矩阵为，

则，

所以连续两次变换所对应的矩阵.

C.【解析】
依题意知（为参数），

因为，

所以，即，

化为极坐标方程得，即，

所以曲线的极坐标方程为.

D.证明：因为， ，

所以要证，

只要证，

即要证，

只需证，

而，故成立.