广西南宁市2017届高三第一次适应性测试数学（理）试卷

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，，则等于（    ）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：简单

已知复数满足，则的虚部为-3，则的实部为（    ）

A. -1    B. 1    C. 3    D. 5

3. 难度：简单

某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测.如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为、，、、、、、，则样本的中位数在（    ）

A. 第3组    B. 第4组    C. 第5组    D. 第6组

4. 难度：简单

已知数列满足：，且，则等于（    ）

A.     B. 23    C. 12    D. 11

5. 难度：简单

已知角的终边过点，若，则实数等于（    ）

A.     B.     C.     D.

6. 难度：简单

执行如图的程序框图，若输入的值为3，则输出的值为（   ）

A. 10    B. 15    C. 18    D. 21

7. 难度：简单

已知非零向量、满足，且与的夹角的余弦值为，则等于（    ）

A.     B.     C.     D. 2

8. 难度：中等

如果实数，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A. 7    B. 8    C. 9    D. 11

9. 难度：简单

如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A. 12    B. 15    C. 18    D. 21

10. 难度：困难

已知函数，设，且，则的最小值为（ ）

A.     B.     C.     D.

11. 难度：中等

已知双曲线的左焦点为，、在双曲线上，是坐标原点，若四边形为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D.

12. 难度：困难

已知函数，，，若，，使得成立，则的最小值为（    ）

A. -5    B. -4    C.     D. -3

二、填空题

13. 难度：简单

的展开式中的常数项为__________．

14. 难度：中等

已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与轴相切且与线段相交于点.若，则__________．

15. 难度：中等

我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺.斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由细到粗是均匀变化的，其重量为.现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则__________．

16. 难度：中等

在长方体中，底面是边长为的正方形，，是线段上一点.若二面角的正切值为3，则三棱锥外接球的表面积为__________．

三、解答题

17. 难度：简单

在中，角，，所对的边分别为，，，且.

（1）求的值；

（2）若角为锐角，，，求的面积.

18. 难度：中等

某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班.在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下列联表：

（1）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；

（2）设从该班第一次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为；从该班第二次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为，求与的期望并比较大小，请解释所得结论的实际意义.

下面的临界值表供参考：

（参考公式：，其中）

19. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面，，，.

（1）若是的中点，求证：平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值.

20. 难度：中等

已知、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于、两点，若，其中为坐标原点，判断到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

21. 难度：困难

已知函数，.

（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（2）设，若不等式对任意恒成立，求的取值范围.

四、填空题

22. 难度：简单

选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；

（2）设曲线与直线相交于、两点，以为一条边作曲线的内接矩形，求该矩形的面积.