Question

某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班.在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下列联表：

（1）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；

（2）设从该班第一次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为；从该班第二次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为，求与的期望并比较大小，请解释所得结论的实际意义.

下面的临界值表供参考：

（参考公式：，其中）

Answer

（1）见解析;（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）求出的值，对照临界值表即可得到正确答案；
（2）分别求的取值为0,1,2，和的取值为0,1,2时相应的概率，求出其期望，即可得到结论.

试题解析：（1）根据列联表可求得的观测值，

能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效.

（2）的取值为0,1,2，

则，，，

∴.

的取值为0,1,2，则

， ，，

∴ .

∵，∴设立自习室对提高学生数学成绩有一定的效果.

点睛:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是：“探求概率”，求出随机变量取每个值时的概率;

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列;

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.