Question

已知函数，.

（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（2）设，若不等式对任意恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）∴当时，在上没有极值点，当时，在上有一个极值点;

（2）.

【解析】试题分析：(1)先对函数求导,然后对讨论.当时,在上恒成立,函数在单调递增,∴在上没有极值点.当时,在上递减,在上递增,即在处有极小值,无极大值.

(2)设,不等式对任意恒成立,即函数在上的最小值大于零.所以求出的最小值,由最小值大于零求出的取值范围.

试题解析:（1），

当时，在上恒成立，

函数在单调递增，∴在上没有极值点.

当时，得，得，

∴在上递减，在上递增，即在处有极小值，无极大值.

∴当时，在上没有极值点，

当时，在上有一个极值点.

（2）设 ，

，

不等式对任意恒成立，即函数在上的最小值大于零.

①当，即时，在上单调递减，

所以的最小值为，

由可得，

因为，所以.

②当，即时，在上单调递增，

所以最小值为，由可得，即.

③当，即时，可得最小值为，

因为，所以，

故.

即，

综上可得，的取值范围是.