Question

已知、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于、两点，若，其中为坐标原点，判断到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer

（1）;（2）.

【解析】试题分析：（1）根据，，得到，列式求值即可.

(2)坐标化可得，原点到直线的距离 ②，将①式代入②式得：，得解.

（1），，

，

则，化简得，

又，，

则，得，则，

椭圆的方程为.

（2）由题意知，直线不过原点，设，，

（i）当直线轴时，直线的方程为且，

则，，，，

，，，

解得，故直线的方程为，

原点到直线的距离为.

（ii）当直线不垂直于轴时，

设直线的方程为，联立直线和椭圆方程消去得，

，，

.

，，故，

即，①，

原点到直线的距离为，

则 ②，将①式代入②式得：，

.

综上，点到直线的距离为定值.