2015-2016学年江苏省淮安市高二下期中理科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

抛物线的准线方程是___________.

2. 难度：中等

若双曲线的离心率e＝2，则m＝___________.

3. 难度：简单

从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，男、女同学分别至少有1名，则有_____________种不同选法.

4. 难度：中等

底面边长为2，高为1的正三棱锥的表面积为__________.

5. 难度：简单

已知直线与曲线相切，则a＝_____________.

6. 难度：简单

若的展开式中x³的系数等于8，则实数a＝_____________.

7. 难度：中等

观察下列等式：

；；；；；；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为_____________.

8. 难度：简单

已知函数，则__________.

9. 难度：中等

以点（2，－2）为圆心并且与圆相外切的圆的方程是_______.

10. 难度：简单

直线（t为参数）的斜率为____________.

11. 难度：简单

若从1、2、3、…、9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有______种.

12. 难度：简单

设α、β、γ为三个不同的平面，m是直线，给出下列命题：

①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；

④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.

其中为真命题的是______________.（填序号）

13. 难度：简单

若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是__________.

14. 难度：困难

若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___________.

二、解答题

15. 难度：简单

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，AC＝BC＝AA₁＝2，D为侧棱AA₁的中点.

（1）求异面直线DC₁、B₁C所成角的余弦值；

（2）求二面角B₁-DC-C₁的平面角的余弦值.

16. 难度：简单

已知矩阵，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点.

（1）求实数a的值；

（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.

17. 难度：简单

已知，.

（1）当n＝1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小（直接给出结论）；

（2）由（1）猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论.

18. 难度：简单

某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构，若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A、B、C三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的.

（1）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；

（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；

（3）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.

19. 难度：压轴

如图，已知椭圆（a＞b＞0），F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF₂交椭圆于另一点B.

（1）若∠F₁AB＝90°求椭圆的离心率；

（2）若，，求椭圆的方程.

20. 难度：压轴

已知函数在点（1，f(1)）处的切线为y＝1.

（1）求a，b的值；

（2）问是否存在实数m，使得当x∈（0，1]时，的最小值为0？若存在求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.