2016届重庆一中高三5月模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，集合(为自然对数的底数)，则（   ）

A．              B．              C．                D．

2. 难度：简单

若复数是纯虚数，则的值为（   ）

A．                      B．                    C．                  D．

3. 难度：简单

设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”

是“”的（   ）

A．充分不必要条件                 B．必要不充分条件

C．充要条件                        D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

若为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（   ）

A.            B.          C.          D.

5. 难度：中等

《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓，高1丈2尺，容纳米2000斛（1丈=10尺，斛为容积单位，1斛≈1.458立方尺，），则圆柱底面周长约为（   ）

A．1丈3尺             B．5丈4尺                  C．9丈2尺              D．48丈6尺

6. 难度：简单

设点是边长为1的正的中心（如图所示），则＝（   ）

A.                         B.                      C.                    D.

7. 难度：简单

现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（   ）

A.                          B.                       C.                      D.

8. 难度：中等

设实数，满足约束条件，已知的最大值是，最小值是，则实数的值为（   ）

A.                          B.                        C.                   D.

9. 难度：简单

把周长为1的圆的圆心放在轴，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的大致图像为（   ）

10. 难度：简单

一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为（   ）

A.                B.               C.            D.

11. 难度：困难

已知是双曲线的右焦点，是双曲线的中心，直线是双曲线的一条渐近线，以线段为边作正三角形，若点在双曲线上，则的值为（   ）

A.                  B.                  C.                 D.

12. 难度：困难

设函数有两个极值点，若点为坐标原点，点在圆上运动时，则函数图象的切线斜率的最大值为（   ）

A.                  B.                 C.                 D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知函数是奇函数，则       ．

14. 难度：中等

在二项式的展开式中，前3项的二项式系数之和等于79，则展开式中的系数为      ．

15. 难度：中等

已知直线和直线分别与圆相交于和，则四边形的内切圆的面积为         ．

16. 难度：中等

在平面四边形中，，则的最大值为   __    ．

三、解答题

17. 难度：困难

已知数列中，，其前项和为，且当时，．

（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为，求．

18. 难度：中等

某班级举办知识竞赛活动，现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表：

（I）填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案)；

（II）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备4道判断题，选手对其依次口答，答对两道就终止答题，

并获得一等奖，若题目答完仍然只答对1道，则获得二等奖。某同学进入决赛，每道题答对的概率的

值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．

（1）求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；

（2）设该同学答题个数为，求的分布列及的数学期望．

19. 难度：压轴

某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方材料切割成三棱锥．

（Ⅰ）若点分别是棱的中点，点是上的任意一点，求证：；

（Ⅱ）已知原长方体材料中，，，，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高；

（i）甲工程师先求出所在直线与平面所成的角，再根据公式求出三棱锥的高.请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高；

（ii）乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如右图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的的值是多少？（请直接写出的值，不要求写出演算或推证的过程）

20. 难度：困难

已知三点，曲线上任意一点满足：．

（1）求曲线的方程；

（2）动点在曲线上，曲线在点处的切线为，问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比为常数？若存在，求及常数的值；若不存在，说明理由．

21. 难度：困难

已知函数，（其中），且函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线重合．

（1）求实数的值；

（2）记函数，是否存在最小的正常数，使得当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性．

22. 难度：中等

如图，已知，圆是的外接圆，，是圆的直径．过点作圆的切线交的延长线于点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若,，求的面积．

23. 难度：中等

已知直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．

（Ⅰ）若直线与曲线交于两点，求的值；

（Ⅱ）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．

24. 难度：简单

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求的范围．