Question

已知三点，曲线上任意一点满足：．

（1）求曲线的方程；

（2）动点在曲线上，曲线在点处的切线为，问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比为常数？若存在，求及常数的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2），.

【解析】

试题分析：（1）直接根据列出关于的方程即可；（2）假设存在点满足条件,则直线的方程是,直线的方程是,分别和切线联立，分别用 和表示与的面积，令其比值跟无关，可得常数.

试题解析：(1)依题意可得,
,
由已知得,化简得曲线的方程: .

(2)假设存在点满足条件,则直线的方程是,直线的方程是

,曲线在点处的切线的方程为它与y轴的交点为,由于,因此 ①当时, ,存在,使得,即与直线平行,故当时不符合题意 ;②当时,,所以与直线一定相交,分别联立方程组,
解得横坐标分别是
则,又,
有,

又

于是 ,

对任意,要使与的面积之比是常数,只需满足

, 解得，此时与的面积之比为,故存在，使与的面积之比是常数.

考点：1、直接法求抛物线的标准方程；2、韦达定理及三角形面积公式.

【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、切线方程及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.