Question

某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方材料切割成三棱锥．

（Ⅰ）若点分别是棱的中点，点是上的任意一点，求证：；

（Ⅱ）已知原长方体材料中，，，，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高；

（i）甲工程师先求出所在直线与平面所成的角，再根据公式求出三棱锥的高.请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高；

（ii）乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如右图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的的值是多少？（请直接写出的值，不要求写出演算或推证的过程）

Answer

（I）证明见解析；（II）（i）；（ii）.

【解析】

试题分析：（I）先由中位线定理证明∥平面，∥平面，得，进而面；（II）分别以所在直线为建立空间直角坐标系.则有，求平面的一个法向量，利用空间向量的夹角余弦公式求线面夹角正弦，进而得点到面的距离即是棱锥的高.

试题解析：∵，

∴.,

∴∥平面， 同理可证∥平面,

∵,且，

∴， 又面 .

（II）（i）如图，分别以所在直线为建立空间直角坐标系.则有，.

,

设平面的一个法向量，

则有，解得,令，则 ,

∴,

∴三棱锥的高为.

（ii）.

考点：1、线面平行、面面平行的判定定理；2、线面成角及空间向量的夹角余弦公式.