Question

已知函数，（其中），且函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线重合．

（1）求实数的值；

（2）记函数，是否存在最小的正常数，使得当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性．

Answer

（1），；（2）存在最小的正常数.

【解析】

试题分析：（1）由及可解得；（2）

，构造函数，则问题就是求恒成立，对求导，设极值点为，存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立.

试题解析：（1）∵，∴，则在点处切线的斜率，切点，则在点处切线方程为， 又，∴，则在点处切线的斜率，切点，则在点处切线方程为，

由解得, .

（2），

构造函数，则问题就是求恒成立。

，令，则

，显然是减函数，又，所以在上是增函数，在上是减函数，而，

，

所以函数在区间和上各有一个零点，令为和

，并且有在区间和上，，即；在区间上，，即。从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增。，当时，；当时，.

还有是函数的极大值，也是最大值。题目要找的，理由：

当时，对于任意非零正数，而在上单调递减，所以

一定恒成立，即题目要求的不等式恒成立；

当时，取，显然，题目要求的不等式不恒成立，说明不能比小； 综合可知，题目所要求的最小的正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立.

考点：1、利用导数求切线斜率及函数的单调性；2、利用导数证明不等式恒成立问题.

【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率 、利用导数证明不等式恒成立问题，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.