2012-2013学年湖南省长沙市浏阳一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（ ）
A．9
B．7
C．5
D．3

2. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-a_n=2，则a₅₁的值为（ ）
A．101
B．49
C．99
D．102

3. 难度：中等

设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（ ）
A．5
B．3
C．7
D．-8

4. 难度：中等

“a＞1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

F₁，F₂是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF₁F₂=45°，则三角形AF₁F₂的面积为（ ）
A．7
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若x，y是正数，且+=1，则xy有（ ）
A．最大值16
B．最小值
C．最小值16
D．最大值

7. 难度：中等

等差数列{a_n}的前项和为S_n，若a₁＞0，存在大于2的自然数k，使a_k=S_k，则（ ）
A．{a_n}递增，S_n有最大值
B．{a_n}递增，S_n有最小值
C．{a_n}递减，S_n有最大值
D．{a_n}递减，S_n有最小值

8. 难度：中等

椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b²，4b²]，则该椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

设等比数列{a_n}的公比，前n项和s_n，则=______．

10. 难度：中等

若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是______

11. 难度：中等

若命题“∃x∈R，x²+ax+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是______．

12. 难度：中等

设S_n=1+2+3+…+n，n∈N^*，求的最大值．

13. 难度：中等

不等式|2x+y+m|＜3表示的平面区域包含点（0，0）和点（-1，1），则m的取值范围是______．

14. 难度：中等

椭圆的焦点F₁、F₂，点P为其上的动点，当∠F₁PF₂为钝角时，点P横坐标的取值范围是______

15. 难度：中等

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，在椭圆上满足的M点有四个，则椭圆离心率的取值范围是______

16. 难度：中等

若不等式ax²+5x-2＞0的解集是，
（1）求实数a的值；
（2）求不等式ax²-5x+a²-1＞0的解集．

17. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为s_n，已知S₁，S₃，S₂成等差数列，
（1）求{a_n}的公比q；
（2）求a₁-a₃=3，求s_n．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x²，g（x）=x-1
（1）若∃x∈R使f（x）＜bg（x），求实数b的取值范围；
（2）设F（x）=f（x）-mg（x）+1-m-m²，命题p：F（x）在区间[-3，-2]上单调递减，命题q：方程x²+mx+1=0有两不等的正实根，若命题p∧q为真，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用a_n的信息如图．
（1）求a_n；
（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；
（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？

20. 难度：中等

已知椭圆，椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C₁和C₂上，，求直线AB的方程．

21. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，点P到两点的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）若，求k的值；
（3）若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有．