Question

已知函数f（x）=x²，g（x）=x-1
（1）若∃x∈R使f（x）＜bg（x），求实数b的取值范围；
（2）设F（x）=f（x）-mg（x）+1-m-m²，命题p：F（x）在区间[-3，-2]上单调递减，命题q：方程x²+mx+1=0有两不等的正实根，若命题p∧q为真，求实数m的取值范围．

Answer

（1）把∃x∈R使f（x）＜b•g（x），转化为∃x∈R，x2-bx+b＜0，再利用二次函数的性质得△=（-b）2-4b＞0，解出实数b的取值范围；
（2）先求得F（x）=x2-mx+1-m2，再对判断函数的单调性，可求出命题p为真时实数m的取值范围，进而根据方程的根的个数与△的关系，求出命题q实数m的取值范围，最后由命题p∧q为真，则命题p与q均为真，求出两个范围的交集得到答案．
【解析】
（1）由∃x∈R，f（x）＜b•g（x），得∃x∈R，x2-bx+b＜0，
∴△=（-b）2-4b＞0，解得b＜0或b＞4，
∴实数b的取值范围是（-∞，0）∪（4，+∞）；
（2）由题设得F（x）=x2-mx+1-m2，
其图象是开口朝上且对称轴方程为x=的抛物线，
若F（x）在区间[-3，-2]则≥-2
即m≥-4
若x2+mx+1=0有两不等的正实根，
则
解得m＜-2
又∵命题p∧q为真，则命题p与q均为真，
∴-4≤m＜-2