Question

椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b²，4b²]，则该椭圆的离心率e的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，表示出圆的内接矩形长和宽，可得矩形的面积，由3b2≤2ab≤4b2，求得3b≤2a≤4b，平方后，可得a和c的不等式关系，即可求出离心率e的范围．
【解析】
在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）
则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，
内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
由已知得：3b2≤2ab≤4b2，∴3b≤2a≤4b，
平方得：9b2≤4a2≤16b2，
9（a2-c2）≤4a2≤16（a2-c2），
5a2≤9c2且12a2≥16c2，
∴≤≤
即e∈
故选B．