2011-2012学年四川省雅安中学高三（下）段考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果集合A={x|x²-x=0}，B={y|y²+y=0}，那么A∩B=（ ）
A．.{-1，0，1}
B．{-1，1}
C．.{0}
D．.∅

2. 难度：中等

已知tanα=2，7sin²α+3cos²α=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

并排的5个房间，安排给5个工作人员临时休息，假设每个人可以进入任一房间，且进入每个房间是等可能的，问每个房间恰好进入一人的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是（ ）
A．若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数
B．若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数
C．若a+b是偶数，则a，b都是奇数
D．若a+b是偶数，则a，b不都是奇数

5. 难度：中等

已知=（cos70°，sin70°），=（cos10°，sin10°），=（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

已知曲线y²=4x的焦点F，曲线上三点A，B，C满足，则=（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

7. 难度：中等

若P是棱长1的正四面体内的任意一点，则它到这个四面体各面的距离之和为 （ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知a≠b，且a²+2a-1=0，b²+2b-1=0，则代数式=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=S₁₈，则S₂₂=（ ）
A．0
B．12
C．-1
D．-12

10. 难度：中等

函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，“f（a）•f（b）＜0”是“函数f（x）在区间[a，b]上恰有一个零点”的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．非充分非必要

11. 难度：中等

在同一直角坐标系下作y=a^x和y=log_ax（a＞0且a≠1）的图象，有下面四种判断：
①两支图象可能无公共点．
②若两支图象有公共点，则公共点一定在直线y=x上．
③若两支图象有公共点，则公共点个数可能1个，不可能2个．
④若两支图象有公共点，则公共点个数最多可能有3个．
以上这四种判断中，错误的判断共有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4

12. 难度：中等

已知平面内一点P∈{（x，y）|（x-2cosα）²+（y-2sinα）²=16，α∈R}，则满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是（ ）
A．36π
B．32π
C．16π
D．4π

二、填空题

13. 难度：中等

平面内与两定点距离之比为定值m（m≠1）的点的轨迹是    ．

14. 难度：中等

如果直线AB与平面α相交于B，且与α内过点B的三条直线BC，BD，BE所成的角相同，则直线AB与CD所成的角=    ．

15. 难度：中等

已知实数x满足|2x+1|+|2x-5|≤6，则x的范围是（用区间表示）    ．

16. 难度：中等

命题：
（1）若f（x）=ax²+bx+3a+b是偶函数，其定义域是[a-1，2a]，则f（x）在区间是减函数．
（2）如果一个数列{a_n}的前n项和则此数列是等比数列的充要条件是a+c=0．
（3）曲线y=x³+x+1过点（1，3）处的切线方程为：4x-y-1=0．
（4）已知集合P∈{（x，y）|y=k}，Q∈{（x，y）|y=a^x+1，a＞0且a≠1}，若P∩Q只有一个子集．则k＜1．
以上四个命题中，正确命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量，，且向量、共线．
（1）求角B的大小；
（2）如果b=1，求△ABC的面积V_△ABC的最大值．

18. 难度：中等

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，侧棱长为，D是棱A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB₁-D的大小；
（Ⅲ）求点C₁到平面AB₁D的距离．

19. 难度：中等

六名学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核．每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练（即淘汰），若每个学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每一次考试是否合格互不影响．
（Ⅰ）求某个学生不被淘汰的概率．
（Ⅱ）求6名学生至多有两名被淘汰的概率．
（Ⅲ）假设某学生不放弃每一次考核的机会，用ζ表示其参加补考的次数，求随机变量ζ=1的概率．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}是公差为1的等差数列，{b_n}是公比为2的等比数列，S_n，T_n分别是数列{a_n}和{b_n}前n项和，且a₆=b₃，S₁₀=T₄+45
①分别求{a_n}，{b_n}的通项公式．
②若S_n＞b₆，求n的范围．
③令c_n=（a_n-2）b_n，求数列{c_n}的前n项和R_n．

21. 难度：中等

（Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知某点P（x，y），直线l：Ax+By+C=0．求证：点P到直线l的距离．
（Ⅱ）已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，点P（2，0），O为坐标原点，过P的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若向量在向量上的投影为n，且，求直线l的方程．

22. 难度：中等

已知函数f（x）在其定义域上满足：xf（x）+2af（x）=x+a-1，a＞0．
①函数y=f（x）的图象是否是中学对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；
②当f（x）时，求x的取值范围；
③若f（0）=0，数列{a_n}满足a₁=1，那么若0＜a_n+1≤f（a_n）正整数N满足n＞N时，对所有适合上述条件的数列{a_n}，恒成立，求最小的N．