Question

六名学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核．每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练（即淘汰），若每个学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每一次考试是否合格互不影响．
（Ⅰ）求某个学生不被淘汰的概率．
（Ⅱ）求6名学生至多有两名被淘汰的概率．
（Ⅲ）假设某学生不放弃每一次考核的机会，用ζ表示其参加补考的次数，求随机变量ζ=1的概率．

Answer

（Ⅰ）法一（直接法）：某个学生不被淘汰包括：①两个项目都不补考能通过；②两个项目中有一个项目要补考才能通过；③两个项目都要补考才能通过，利用互斥事件，可求概率；法二（间接法）先求被淘汰的概率，再利用对立事件的概率公式求解；
（Ⅱ）6名学生至多有两名被淘汰包括3种情况，求出相应的概率即可；
（Ⅲ）随机变量ζ=1的概率，即求参加补考1次的概率．
【解析】
（Ⅰ）法一（直接法）：①两个项目都不补考能通过概率：
②两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率：
③两个项目都要补考才能通过的概率：∴…（6分）
法二（间接法）被淘汰的概率：∴
（Ⅱ）…（9分）
（Ⅲ） …（12分）