2012-2013学年湖北省部分重点中学高一（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A．f（x）=，g（x）=
B．f（x）=x，g（x）=
C．f（x）=lnx²，g（x）=2ln
D．f（x）=log_aa^x（0＜a≠1），g（x）=

2. 难度：中等

A={x|2a-1＜x＜a+2}，B={x|3＜x＜5}．则能使A∪B=B成立的实数a的取值范围是（ ）
A．{a|2≤a＜3}
B．{a|2＜a＜3}
C．{a|2≤a≤3}
D．{a|a≥2}

3. 难度：中等

某学生离家去学校，一开始步行，过一段时间发现快迟到了，于是就跑步去学校．在图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=lnx，则的值为（ ）
A．
B．
C．-ln2
D．ln2

5. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，-1）、B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|＜1的解集是（ ）
A．（1，4）
B．（-1，2）
C．（-∞，1]∪[4，+∞）
D．（-∞，-1]∪[2，+∞）

6. 难度：中等

一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．这种放射性元素的半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期）是．（精确到0.1．已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）（ ）
A．52
B．6.6
C．71
D．83

7. 难度：中等

已知函数y=f（x）和函数y=g（x）的图象如图所示：则函数y=f（x）g（x）的图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

a、b、c是图象连续不断的函数y=f（x）定义域中的三个实数，且满足a＜b＜c，f（a）•f（b）＜0，f（b）•f（c）＜0．则函数y=f（x）在区间（a，c）上的零点个数为（ ）
A．2
B．正的奇数
C．正的偶数
D．至少是2且至多是4

9. 难度：中等

已知实数a，b满足等式，下列四个关系式：①0＜b＜a＜1；②0＜a＜b＜1；③1＜b＜a；④a=b，其中不可能成立的关系式有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

10. 难度：中等

对实数a与b，定义新运算“⊗”：设函数f（x）=（x²-2）⊗（x-x²），x∈R．若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知集合M={（x，y）|y=x+3}，N={（x，y）|y=-2x+6}，则M∩N=    ．

12. 难度：中等

若函数y=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在区间[-1，1]上的最大值为7，则a=    ．

13. 难度：中等

已知幂函数f（x）=（m∈Z）是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，则m=    ．

14. 难度：中等

函数的值域为    ．

15. 难度：中等

给出下列四个命题：
①函数f（x）=2^x-x²有且仅有两个零点；
②对于函数f（x）=lnx的定义域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）必有；
③已知f（x）=|2^-x-1|，当a＜b时有f（a）＜f（b），则必有0＜f（b）＜1；
④已知图象连续不断的函数y=f（x）在区间（a，b）（b-a=0.1）上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间（a，b）等分的次数至少是10次．
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数的定义域为M，的值域为N．
（1）求M；
（2）若M∩N≠∅，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）对任意实数m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n）．
（1）证明f（x）为奇函数；
（2）若f（x）是R上的单调函数且f（5）=5，求不等式的解集．

18. 难度：中等

设函数f（x）=x²+bx-1（b∈R）
（1）当b=1时证明：f（x）在区间内存在唯一零点；
（2）若当∈[1，2]时，不等式f（x）＜1有解．求实数b的取值范围．

19. 难度：中等

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（I）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

20. 难度：中等

已知函数．
（1）判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若存在求出a的值，不存在请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若恒成立，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

若函数f（x）满足下列两个性质：
①f（x）在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在f（x）的定义域内存在某个区间使得f（x）在[a，b]上的值域是．则我们称f（x）为“内含函数”．
（1）判断函数是否为“内含函数”？若是，求出a、b，若不是，说明理由；
（2）若函数是“内含函数”，求实数t的取值范围．