Question

设函数f（x）=x²+bx-1（b∈R）
（1）当b=1时证明：f（x）在区间内存在唯一零点；
（2）若当∈[1，2]时，不等式f（x）＜1有解．求实数b的取值范围．

Answer

（1）当b=1时，根据二次函数的性质易得f（x）在区间内为增函数，进而根据f（）•f（1）＜0，可得f（x）在区间内存在唯一零点；
（2）若当∈[1，2]时，不等式f（x）＜1有解，即b＜=-x在[1，2]有解，结合g（x）=-x在[1，2]为减函数，可得b＜g（x）max，进而得到答案．
证明：（1）当b=1时，
f（x）=x2+x-1在区间内单调递增
又∵f（）=＜0，f（1）=1＞0
即f（）•f（1）＜0
∴f（x）在区间内存在唯一零点；
（2）∵当x∈[1，2]时，不等式f（x）＜1有解．
即x2+bx-1＜1在[1，2]有解
即b＜=-x在[1，2]有解
∵g（x）=-x在[1，2]为减函数
∴b＜g（x）max=g（1）=1
∴实数b的取值范围为（-∞，1）