2012-2013学年浙江省宁波四中高三（上）期始数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-1＜0}，集合B={x|x²-3x＜0}，则A∩B=（ ）
A．{x|-1＜x＜1}
B．{x|0＜x＜3}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|-1＜x＜3}

2. 难度：中等

设a，b∈R，则使a＞b成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．a³＞b³
B．
C．a²＞b²
D．log₂（a-b）＞0

3. 难度：中等

已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

4. 难度：中等

函数的图象关于（ ）
A．y轴对称
B．原点对称
C．点（1，0）对称
D．直线x=1对称

5. 难度：中等

方程sin²x-2sinx-a=0在x∈R上有解，则a的取值范围是（ ）
A．[-1，+∞）
B．（-1，+∞）
C．[-1，3]
D．[-1，3）

6. 难度：中等

函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=（ ）
A．10
B．8
C．
D．

7. 难度：中等

设函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），若x=-1为函数y=f（x）e^x的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

定义行列式运算，将函数的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++=，||=||，则•等于（ ）
A．
B．
C．3
D．

10. 难度：中等

把公差d=2的等差数列{a_n}的各项依次插入等比数列{b_n}中，将{b_n}按原顺序分成1项，2项，4项，…，2^n-1项的各组，得到数列{c_n}：b₁，a₁，b₂，b₃，a₂，b₄，b₅，b₆，b₇，a₃，…，若{c_n}的前n项的和为S_n，且c₁=1，c₂=2，S₃=，则S₁₀₀等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₂+a₈=8，则该数列前9项和S₉等于     ．

12. 难度：中等

若sin（-a）=，则cos（+2a）等于    ．

13. 难度：中等

已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2-）•=    ．


14. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=1-a_n，则a_n=    ．

15. 难度：中等

设偶函数f（x）满足f（x）=2^x-4（x≥0），则{x|f（x-2）＞0}=    ．

16. 难度：中等

对正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，则数列的前n项和的公式是     ．

17. 难度：中等

已知非零向量的夹角为60°，且，若向量满足，则的最大值为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx•cosx+2cos²x+m在区间[0，]上的最大值为2．
（1）求常数m的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面积为．求边长a．

19. 难度：中等

在数列{a_n）中，已知a₁=，a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n及它的前n项和S_n．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=|x²-4x+3|．
（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；
（2）若关于x的方程f（x）-a=x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=xe^-x（x∈R）．
（1）求函数f）x）的单调区间和极值；
（2）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明当x＞1时，f（x）＞g（x）．

22. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为，正数数列{b_n}的首项为c，且满足：．记数列{b_nb_n+1}前n项和为T_n．
（Ⅰ）求c的值； 
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．