Question

在数列{a_n）中，已知a₁=，a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n及它的前n项和S_n．

Answer

（1）利用数列递推式，结合-，即可证得结论；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法可求数列的和．
（1）证明：∵an=3an-1+3n-1，
∴an-=3（an-1-）+3n，
∴-==1
∴{}是等差数列，且公差为1；
（2）【解析】
由（1）{}是等差数列，且公差为1，a1=，
∴=+（n-1）×1=n，∴
∴Sn=（1×31+2×32+…+n•3n）+
令Tn=1×31+2×32+…+n•3n，①则
3Tn=1×32+2×33+…+n•3n+1，②
①-②：-2Tn=31+32+…+3n-n•3n+1=-
∴Tn=
∴Sn=+