(1)求导函数,由导数的正负,可得函数的单调区间,从而可求函数的极值;
(2)构造函数F(x)=f(x)-g(x),证明函数F(x)在[1,+∞)上是增函数,即可证得结论.
(1)【解析】
求导函数,f′(x)=(1-x)e-x,令f′(x)=0,解得x=1
由f′(x)>0,可得x<1;由f′(x)<0,可得x>1
∴函数在(-∞,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数
∴函数在x=1时取得极大值f(1)=;
(2)证明:由题意,g(x)=f(2-x)=(2-x)ex-2,
令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe-x-(2-x)ex-2,
∴F′(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x,
当x>1时,2x-2>0,∴e2x-2-1>0,∵e-x,>0,∴F′(x)>0,
∴函数F(x)在[1,+∞)上是增函数
∵F(1)=0,∴x>1时,F(x)>F(1)=0
∴当x>1时,f(x)>g(x).