2012-2013学年山东省济宁市汶上一中高二（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=1-i，则=（ ）
A．2
B．-2
C．2i
D．-2i

2. 难度：中等

如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90度）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知a，b∈R₊，x=2-，y=，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＜y
B．x＞y
C．x≥y
D．x≤y

4. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c，且a，b，c∈{0，2，4，6，8}，则不同的二次函数有（ ）
A．125个
B．100个
C．15 个
D．10个

5. 难度：中等

f（x）=3x-cos（2x）在（-∞，+∞） 上（ ）
A．是增函数
B．是减函数
C．有最大值
D．有最小值

6. 难度：中等

若a=，b=，c=，则a，b，c大小关系是（ ）
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b

7. 难度：中等

对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
2²=1+3  
3²=1+3+5      
4²=1+3+5+7
2³=3+5  
3³=7+9+11    
4³=13+15+17+19
根据上述分解规律，若m²=1+3+5+…+11，n³的分解中最小的正整数是21，则m+n=（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13

8. 难度：中等

设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x³的系数为（ ）
A．-150
B．150
C．-500
D．500

10. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，当x＞0时，有f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）
A．（-∞，0）∪（0，1）
B．（-∞，-1）∪（0，1）
C．（-1，0）∪（1，+∞）
D．（-1，0）∪（0，1）

11. 难度：中等

己知命题“∃x∈R，2x²+（a-1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）
B．（-1，3）
C．（-3，+∞）
D．（-3，1）

12. 难度：中等

在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•3•…•（2n-1）（n∈N^*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（ ）
A．2k+1
B．2（2k+1）
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

不等式|x-1|＜2的解集为    ．

14. 难度：中等

数据x₁，x₂，…，x₈平均数为6，则数据x₁-6，x₂-6，…，x₈-6的平均数为    ．

15. 难度：中等

若x＞0，则函数y=2x-1+的最小值是    ．

16. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数．给出下列函数：
①f（x）=0；②f（x）=x²；③；④；其中是F函数的序号为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=-b，其中常数a，b∈R，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

18. 难度：中等

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=，∠ABC=60°．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的余弦值．

19. 难度：中等

设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂）两点在抛物线y=2x²上，l是AB的垂直平分线．
1）当且仅当x₁+x₂取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．

20. 难度：中等

已知递增等差数列{a_n}满足：a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若不等式（1-）•（1-）…（1-）≤对任意n∈N⁺，试猜想出实数m小值，并证明．

21. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x-1-alnx（a∈R））．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，求实数a的值；
（2）求证：f（x）≥0恒成立的充要条件是a=1；
（3）若a＜0，且对任意x₁，x₂∈（0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|-|，求实数a的取值范围．