Question

已知递增等差数列{a_n}满足：a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若不等式（1-）•（1-）…（1-）≤对任意n∈N⁺，试猜想出实数m小值，并证明．

Answer

（1）设数列{an}公差为d（d＞0），由a1，a2，a4成等比数列可求得d，从而可求得数列{an}的通项公式an；
（2）由（1）得an=n，可将原不等式转化为••…≤，利用n=1与n=2即可猜想m的最小值为，利用数学归纳法证明即可．
【解析】
（1）设数列{an}公差为d（d＞0），
由题意可知a1•a4=，即1（1+3d）=（1+d）2，
解得d=1或d=0（舍去）．
所以，an=1+（n-1）•1=n．
（2）不等式等价于••…≤，
当n=1时，m≥；当n=2时，m≥；
而＞，所以猜想，m的最小值为．
下证不等式••…≤对任意n∈N*恒成立．
下面用数学归纳法证明．
证明：1°当n=1时，≤=，成立．
2°假设当n=k时，不等式，••…≤成立，
当n=k+1时，••…•≤•，
只要证•≤，
只要证≤，
只要证-≤2k+2，
只要证4k2+8k+3≤4k2+8k+4，
只要证3≤4，显然成立．
所以，对任意n∈N*，不等式••…≤恒成立．