Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，当x＞0时，有f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）
A．（-∞，0）∪（0，1）
B．（-∞，-1）∪（0，1）
C．（-1，0）∪（1，+∞）
D．（-1，0）∪（0，1）

Answer

由已知当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，由f（x）是定义在R上的奇函数，可得g（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，结合g（x）的图象，解不等式即可
【解析】
设g（x）=
则g（x）的导数为g′（x）=
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）＜0，
∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，
又∵g（-x）===g（x）
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（1）==0
∴函数g（x）的图象如图：数形结合可得
∵xf（x）＞0且，f（x）=xg（x）（x≠0）
∴x2•g（x）＞0
∴g（x）＞0
∴0＜x＜1或-1＜x＜0
故选D