2011-2012学年江苏省南京市四校高三（上）12月月考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，x²-x+1＞0，则命题￢p 是    ．

2. 难度：中等

设集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∪B=    ．

3. 难度：中等

设复数z₁=1-2i，z₂=x+i（x∈R），若z₁•z₂为实数，则x=    ．

4. 难度：中等

一个正四面体的四个面分别涂有红、黄、蓝、白四种颜色，若随机投掷该四面体两次，则两次底面颜色相同的概率是    ．

5. 难度：中等

有一组样本数据8，x，10，11，9，已知它们的平均数为10，则这组数据的方差s²=    ．

6. 难度：中等

在如图所示的流程图中，输出的结果是    ．

7. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ+n-1，则a₁+a₃=    ．

8. 难度：中等

已知圆（x-2）²+y²=1经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e=    ．

9. 难度：中等

将函数y=sin（x+）的图象上所有的点向左平移个单位，再将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为y=    ．

10. 难度：中等

已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为    ．

11. 难度：中等

如图，平面四边形ABCD中，若AC=，BD=2，则（+）•（+）=    ．

12. 难度：中等

若不等式4^x-2^x+1-a≥0在x∈[-1，1]上恒成立，则实数a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

若f（n）为n²+1（n∈N^*）的各位数字之和，如14²+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17，记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），…，f_k+1（n）=f（f_k（n）），k∈N^*，则f₂₀₀₈（8）=    ．

14. 难度：中等

已知f（x）=x³，g（x）=-x²+x-a，若存在x∈[-1，]（a＞0），使得f（x）＜g（x），则实数a的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量=（sinA，1），=（1，-cosA），且⊥．
（1）求角A；
（2）若b+c=a，求sin（B+）的值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥O-ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2BC，OB=OD，M是OD的中点．
求证：（Ⅰ）直线MC∥平面OAB；
（Ⅱ）直线BD⊥直线OA．

17. 难度：中等

某工厂去年某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（k＞0，k为常数，n∈Z且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f（n）万元．
（1）求k的值，并求出f（n）的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？

18. 难度：中等

如图，椭圆的中心为原点O，已知右准线l的方程为x=4，右焦点F到它的距离为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，求使OC长最小时圆C的方程．

19. 难度：中等

公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知，．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n及其前n项和S_n；
（Ⅱ）记，若自然数η₁，η₂，…，η_k，…满足1≤η₁＜η₂＜…＜η_k＜…，并且成等比数列，其中η₁=1，η₂=3，求η_k（用k表示）；
（Ⅲ）记，试问：在数列{c_n}中是否存在三项c_r，c_s，c_t（r＜s＜t，r，s，t∈N^*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，试求a的取值范围．

21. 难度：中等

选做题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B、C两点．求证：∠DPB=∠DCP．
B．选修4-2：矩阵与变换
设M=，N=，试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
解不等式：|2x+1|-|x-4|＜2．

22. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，
AB=BC=，BB₁=3，D为A₁C₁的中点，F在线段AA₁上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？
（2）设AF=1，求平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

23. 难度：中等

一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N^*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．
（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？