Question

公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知，．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n及其前n项和S_n；
（Ⅱ）记，若自然数η₁，η₂，…，η_k，…满足1≤η₁＜η₂＜…＜η_k＜…，并且成等比数列，其中η₁=1，η₂=3，求η_k（用k表示）；
（Ⅲ）记，试问：在数列{c_n}中是否存在三项c_r，c_s，c_t（r＜s＜t，r，s，t∈N^*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）把a1代入S3，求得d，进而根据等差数列的通项公式和求和公式求得an及其前n项和Sn．
（Ⅱ）把（1）中求得的an代入求得bn，进而求得，即数列，的公比，根据等比数列的通项公式求得，进而根据求得ηk．
（Ⅲ）根据（1）中求得的Sn求得cn，假设存在三项cr，cs，ct成等比数列，则cs2=cr•ct，把cn代入整理得进而看当2s-r-t≠0时看相等，当2s-r-t=0时，r和t的关系，进而判断假设是否成立．
【解析】
（Ⅰ）∵，，∴d=2
所以，
（Ⅱ）由题意，bn=2n，首项b1=2，又数列，
的公比
∴，又，∴ηk=3k-1
（Ⅲ）易知，假设存在三项cr，cs，ct成等比数列，则cs2=cr•ct，
即，
整理得
①当2s-r-t≠0时，，
∵r，s，t∈N*，∴是
有理数，这与为无理数矛盾
②当2s-r-t=0时，则rt+r+t-s2-2s=0，从而，
解得r=t，这与r＜t矛盾．
综上所述，不存在满足题意的三项cr，cs，ct