Question

如图，椭圆的中心为原点O，已知右准线l的方程为x=4，右焦点F到它的距离为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，求使OC长最小时圆C的方程．

Answer

（1）假设椭圆的标准方程，利用右准线l的方程为x=4，右焦点F到它的距离为2，即可确定几何量，从而可求椭圆的标准方程；
（2）计算圆的标准方程，利用圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，可确定圆心坐标之间的关系，进而可求使OC长最小时圆C的方程．
【解析】
（1）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）．
由题意可得，…（2分）
解得a=2，c=2．…（4分）
从而b2=a2-c2=4．
所以椭圆的标准方程为．…（6分）
（2）设圆C的方程为（x-m）2+（y-n）2=r2，r＞0．
由圆C经过点F（2，0），得（2-m）2+n2=r2，①…（7分）
由圆C被l截得的弦长为4，得|4-m|2+（）2=r2，②…（8分）
联立①②，消去r得：n2=16-4m．…（10分）
所以|OC|===．…（12分）
∵n2≥0，∴m≤4，
∴当m=2时，|OC|有最小值2．…（14分）
此时n=±2，r=2，故所求圆C的方程为（x-2）2+（y±2）2=8．…（16分）