Question

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量=（sinA，1），=（1，-cosA），且⊥．
（1）求角A；
（2）若b+c=a，求sin（B+）的值．

Answer

（1）利用向量垂直得到数量积为0，可得方程，由此可求角A；
（2）（解法1）利用正弦定理，将边的关系转化为角，利用辅助角公式，可得结论；
（解法2）利用余弦定理，求出边，再求出B，从而可得结论．
【解析】
（1）因为⊥，所以•=0，
∵向量=（sinA，1），=（1，-cosA），
∴sinA-cosA=0．…（2分）
∴sinA=cosA，∴tanA=．…（4分）
又因为0＜A＜π，∴A=．…（6分）
（2）（解法1）因为b+c=a，由正弦定理得sinB+sinC=sinA=．…（8分）
因为B+C=，所以sinB+sin（-B）=．…（10分）
化简得sinB+cosB=，…（12分）
从而sinB+cosB=，即sin（B+）=．…（14分）
（解法2）由余弦定理可得b2+c2-a2=2bccosA，即b2+c2-a2=bc  ①．…（8分）
又因为b+c=a  ②，
联立①②，消去a得2b2-5bc+2c2=0，即b=2c或c=2b．…（10分）
若b=2c，则a=c，可得B=；若c=2b，则a=b，可得B=．…（12分）
所以sin（B+）=．…（14分）