一个袋中装有黑球,白球和红球共n(n∈N
*)个,这些球除颜色外完全相同.已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是
.现从袋中任意摸出2个球.
(1)若n=15,且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是
,设ξ表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ;
(2)当n取何值时,摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大,最大概率为多少?
考点分析:
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如图,直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,底面是等腰直角三角形,
AB=BC=
,BB
1=3,D为A
1C
1的中点,F在线段AA
1上.
(1)AF为何值时,CF⊥平面B
1DF?
(2)设AF=1,求平面B
1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
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选做题:在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:几何证明选讲
如图,PA切⊙O于点A,D为PA的中点,过点D引割线交⊙O于B、C两点.求证:∠DPB=∠DCP.
B.选修4-2:矩阵与变换
设M=
,N=
,试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,圆C的极坐标方程为
,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为
(t为参数),求直线l被圆C所截得的弦长.
D.选修4-5:不等式选讲
解不等式:|2x+1|-|x-4|<2.
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已知函数f(x)=a
x+x
2-xlna(a>0,a≠1).
(Ⅰ)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(Ⅱ)若函数y=|f(x)-t|-1有三个零点,求t的值;
(Ⅲ)若存在x
1,x
2∈[-1,1],使得|f(x
1)-f(x
2)|≥e-1,试求a的取值范围.
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公差d≠0的等差数列{a
n}的前n项和为S
n,已知
,
.
(Ⅰ)求数列{a
n}的通项公式a
n及其前n项和S
n;
(Ⅱ)记
,若自然数η
1,η
2,…,η
k,…满足1≤η
1<η
2<…<η
k<…,并且
成等比数列,其中η
1=1,η
2=3,求η
k(用k表示);
(Ⅲ)记
,试问:在数列{c
n}中是否存在三项c
r,c
s,c
t(r<s<t,r,s,t∈N
*)恰好成等比数列?若存在,求出此三项;若不存在,请说明理由.
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如图,椭圆的中心为原点O,已知右准线l的方程为x=4,右焦点F到它的距离为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设圆C经过点F,且被直线l截得的弦长为4,求使OC长最小时圆C的方程.
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