《立体几何》2010年同步练习B（广州市）（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，M、N分别为A₁B和AC上的点，A₁M=AN=，则MN与平面BB₁C₁C的位置关系是（ ）

A．相交
B．平行
C．垂直
D．不能确定

2. 难度：中等

将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD中点，则∠AED的大小为（ ）
A．45°
B．30°
C．60°
D．90°

3. 难度：中等

PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AA₁与CC₁的中点，则直线ED与D₁F所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC₁、AD的中点，那么异面直线OE和FD₁所成的角的余弦值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=2，A A₁=1，则点A到平面A₁BC的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=BB₁，则CA₁与C₁B所成的角的大小是（ ）
A．60°
B．75°
C．90°
D．105°

8. 难度：中等

设E，F是正方体AC₁的棱AB和D₁C₁的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A₁ECF成60°角的对角线的数目是（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6

二、填空题

9. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为棱AA₁和BB₁的中点，则sin＜，＞的值为    ．

10. 难度：中等

如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是    ．

11. 难度：中等

正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角为    ．

12. 难度：中等

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D是A₁C₁的中点，则直线AD与平面B₁DC所成角的正弦值为    ．

13. 难度：中等

已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥面ABC，且PA=2，设平面α过PF且与AE平行，则AE与平面α间的距离为    ．

14. 难度：中等

棱长都为2的直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，则对角线A₁C与侧面DCC₁D₁所成角的余弦值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
（1）求的长；
（2）求，＞的值；
（3）求证A₁B⊥C₁M．

16. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB
（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；
（3）求二面角C-PA-B 的大小的余弦值．

17. 难度：中等

（理科做）如图所示已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a＞0），PA⊥平面ABCD且PA=1．建立适当的空间坐标系，利用空间向量求解下列问题：
（1）求点P、B、D的坐标；
（2）当实数a在什么范围内取值时，BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD；
（3）当BC边上有且仅有一个Q点，使得时PQ⊥QD，求二面角Q-PD-A的余弦值．

18. 难度：中等

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（I）证明PA⊥平面ABCD；
（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

19. 难度：中等

如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG=4，AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点．
（1）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；
（2）求点D到平面PBG的距离；
（3）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．

20. 难度：中等

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，点E是SC上任意一点．
（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（Ⅱ）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；
（Ⅲ）当的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°．