Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为棱AA₁和BB₁的中点，则sin＜，＞的值为    ．

Answer

建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦，利用三角函数的平方关系求出两个向量的夹角正弦．
【解析】
设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，
则C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1）
可知=（2，-2，1），=（2，2，-1），
∴•=2×2-2×2-1×1=-1，||=3，||=3
∴cos＜，＞==-
∴＜，＞
∴由三角函数的平方关系得sin＜，＞=
故答案为．