Question

已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥面ABC，且PA=2，设平面α过PF且与AE平行，则AE与平面α间的距离为    ．

Answer

先作出平面α过PF且与AE平行，设H为DF的中点，再作AK⊥PH，则AK⊥面PDF，AK就是AE与平面α的距离，利用等面积可求AE与平面α间的距离．
【解析】
由题意，延长BA到D，使AD=EF=0.5AB，则四边形AEFD是平行四边形，
∴AE∥DF，则面PDF为α．
∵AE⊄α，DF⊂α，
∴AE∥α，
设H为DF的中点，AD=AF=2，
∴AH⊥DF，
∵PA⊥面ABC，由三垂线逆定理，DF⊥PH，
∴DF⊥面PAH，
∵DF⊆面PDF
∴面PDF⊥面PAH，
作AK⊥PH，则AK⊥面PDF，AK就是AE与平面α的距离．
∵AH=0.5AD=，AD=2，
∴PH=，AK==
∴AE与平面α的距离为
故答案为：