2007-2008学年江苏省南京市金陵中学高三（上）质量检测数学试卷（文理合卷）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合P={x|2≤x≤7}，Q={x|x²-x-6=0，x∈R}，则集合P∩Q是    ．

2. 难度：中等

计算的结果是    ．

3. 难度：中等

若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x+2y=1，则xy的最大值为    ．

4. 难度：中等

函数的定义域是     ．

5. 难度：中等

在边长为1的正方形ABCD中，若．则|++2|的值是    ．

6. 难度：中等

满足条件|z-1|=|1+2i|的复数z在复平面内对应的点表示的图形的面积为    ．

7. 难度：中等

若的值是    ．

8. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为    ．

9. 难度：中等

若，则的值是     ．

10. 难度：中等

已知向量，，那么的夹角的大小是    ．

11. 难度：中等

函数的单调减区间是    ．

12. 难度：中等

将下面不完整的命题补充完整，并使之成为一个真命题：若函数f（x）=2^x的图象与函数g（x）的图象关于    对称，则函数g（x）的解析式是    ．（填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）

13. 难度：中等

若定义域为（-1，1）的奇函数y=f（x）又是减函数，且f（a-3）+f（9-a²）＜0，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设函数，g（x）=x²f（x-1）（x∈R），则函数g（x）的单调递减区间是    ．

15. 难度：中等

若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是    ．

16. 难度：中等

（理科）下面有四个命题：
①函数y=2|sin（2-2x）|的周期是π；
②函数y=2sin|2x-2|的图象的对称轴是直线x=1；
③函数y=2sin（2x-2）+1的图象的一个对称中心的坐标是（1，1）
④函数y=2sin（2x-2）的图象向右平移2个单位得到函数y=2sin（2x-4）的图象．
其中真命题的序号是    ．

17. 难度：中等

如果有穷数列a₁，a₂，…，a_m（m为正整数）满足条件：a₁=a_m，a₂=a_m-1，…，a_m=a₁则称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c_n}中c₁₁，c₁₂，…，c₂₁是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列{c_n}的所有项的和    ．

二、解答题

18. 难度：中等

（1）已知复数z满足，求复数z．
（2）解关于x的不等式．

19. 难度：中等

已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为60°，向量=2+．
（1）求的模；
（2）若向量=m-，∥，求实数m的值．

20. 难度：中等

在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，P=（a+c，b），Q=（c-a，b-c），且p⊥q．
（1）求A的大小；
（2）记的值域．

21. 难度：中等

渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留也适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k＞0）．（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）．
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）求鱼群年增长量的最大值；
（3）当鱼群的年增长量达到最大值值时，求k的取值范围．

22. 难度：中等

设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3^x-9^x＜a对一切正实数x均成立．
（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

23. 难度：中等

（文科）设命题P：函数f（x）=lg（ax²-ax+1）的定义域为R；命题q：不等式3^x-9^x＜a-1对一切正实数均成立．
（1）如果P是真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果命题p且q为真命题，求实数a的取值范围．

24. 难度：中等

（理科）函数有如下性质：①函数是奇函数；②函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数（x＞0）的值域是[6，+∞），求b的值；
（2）判断函数（常数c＞0）在定义域内的奇偶性和单调性，并加以证明；
（3）对函数（常数c＞0）分别作出推广，使它们是你推广的函数的特例．判断推广后的函数的单调性（只需写出结论，不要证明）．

25. 难度：中等

（文科）已知n²（n≥4且n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵：
          第1列     第2列    第3列   …第n列
第1行     a_1，1 a_1，2 a_1，3 …a_1，n
第2行     a_2，1 a_2，2 a_2，3 …a_2，n
第3行     a_3，1 a_3，2 a_3，3 …a_3，n
…
第n行     a_n，1 a_n，2 a_n，3 …a_n，n
其中a_i，k（i，k∈N*，且1≤i≤n，1≤k≤n）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵中各行的数依次成等比数列，各列的数依次成公比为2的等比数列，已知a_2，3=8，a_3，4=20．
（1）求a_1，1a_2，2；
（2）设A_n=a_1，n+a_2，n-1+a_3，n-2+…+a_n，1求证：A_n+n能被3整除．

26. 难度：中等

（选修4-2矩阵与变换）已知在一个二阶矩阵M的变换作用下，点A（1，2）变成了点A′（4，5）点B（3，-1）变成了点B′（5，1）．
（1）求矩阵M；
（2）若在矩阵M的变换作用下，点C（x，0）变成了点C′（4，y），求x，y．

27. 难度：中等

（选修4-4坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C的圆心，半径r=6．
（1）写出圆C的极坐标方程；
（2）若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且OQ：QP=3：2，求动点P的轨迹方程．

28. 难度：中等

（1）若|a|＜1，|b|＜1，比较|a+b|+|a-b|与2的大小，并说明理由；
（2）设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当

29. 难度：中等

某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率．

30. 难度：中等

[必做题]利用空间向量的方法解决下列问题：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是BB₁，DC的中点．
（1）求AE与D₁F所成的角；
（2）证明AE⊥面A₁D₁F．