2010年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={y|y=a²+1|a∈N}，B={y|y=b²+10|b∈N}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．大于3个

2. 难度：中等

某次数学测试分为选择题与非选择题两部分，右边的散点图中每个点（X，Y）表示一位学生在这两部分的得分，其中X表示该生选择题得分，Y表示该生非选择题得分，设Z=X+Y表示该生的总分，现有11位学生的得分数据，根据散点图，下列判断正确的是（ ）

A．X的方差＜Y的方差
B．X的中位数＞Y的中位数
C．X的众数＜Y的众数
D．Z的中位数=X的中位数+Y的中位数

3. 难度：中等

已知[x]表示不超过x的最大整数，如[3.1]=3，若x是方程x^[x]=8的实数根，则（ ）
A．0＜x＜1
B．1＜x＜2
C．2＜x＜3
D．3＜x＜4

4. 难度：中等

已知函教f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（ ）
A．[6kπ，6kπ+3]，k∈Z
B．[6k-3，6k]，k∈Z
C．[6k，6k+3]，k∈Z
D．[6kπ-3，6kπ]，k∈Z

5. 难度：中等

若映射f：{1，2，3，}→{1，2，3，}，满足：f（1）＜f（2）＜f（3）＜＜f（n）且f（f（x））=3x，那么f（1）的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

已知四边形ABCD，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，O为直线BD外一点．设向量，，则的值是（ ）

A．8
B．16
C．-8
D．-16

7. 难度：中等

a是一个常数，函数的值域不可能是（ ）
A．{1}
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若，，则m，n，p的大小关系为（ ）
A．m=p＞n
B．m=p＜n
C．m＞p＞n
D．m＞n＞p

9. 难度：中等

求：=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若函数f（x）=x²+ax+b有两个不同的零点x₁，x₂，3＜x₁＜x₂＜4，那么在f（3），f（4）两个函数值中（ ）
A．只有一个小于
B．至少有一个小于
C．都小于
D．可能都大于

二、填空题

11. 难度：中等

已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

设，则=    ．

13. 难度：中等

如果执行下面的程序框图，那么输出的S值为    ．

14. 难度：中等

在标有数字1，2，3…，10，11，12的12张大小相同的卡片中，依次取出不同的三张卡片它们的数字和恰好是3的倍数的概率是    ．

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量，，若且1≤x≤y≤2，则点P所有可能的位置所构成的区域面积是    ．

16. 难度：中等

某学生对函数f（x）=2x•cosx的性质进行研究，得出如下的结论：
①函数f（x）在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；
②点是函数y=f（x）图象的一个对称中心；
③函数y=f（x）图象关于直线x=π对称；
④存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立．
其中正确的结论是    ．

17. 难度：中等

已知数据x₁，x₂，x₃，…，x₁₀的平均数为6，标准差为，则数据x₁，x₂，…，x₅的平均数的取值范围是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知向量，设函数，x∈[0，π]
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）=0在区间[0，π]上有两个不同的根α，β，求cos（α+β）的值．

19. 难度：中等

已知正实数x，y，设a=x+y，．
（1）当y=1时，求的取值范围；
（2）若以a，b为三角形的两边，第三条边长为c构成三角形，求的取值范围．

20. 难度：中等

设f（x）是定义在实数R上的函数，g（x）是定义在正整数N^*上的函数，同时满足下列条件：
（1）任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），当x＜0时，f（x）＞1且；
（2）g（1）=f（0），g（2）=f（-2）；
（3），n∈N^*
试求：
（1）证明：任意x，y∈R，x≠y，都有；
（2）是否存在正整数n，使得g（n）是25的倍数，若存在，求出所有自然数n；若不存在说明理由．（阶乘定义：n!=1×2×3×…×n）