Question

已知向量，设函数，x∈[0，π]
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）=0在区间[0，π]上有两个不同的根α，β，求cos（α+β）的值．

Answer

（1）由题意，可先由向量的数量积运算及三角恒等变换，得出，由此函数是一个复合函数，分类讨论cosx的取值范围，利用复合函数的单调性的判断规则判断出单调性区间；
（2）法一：f（x）=0在区间[0，π]上有两个不同的根α，β，可得有两个根，此两根为cosα，cosβ，由根与系数的关系，再由由到角三角函数关系，解出易求cos（α+β）的值；
法二：f（x）=0在区间[0，π]上有两个不同的根α，β，可得有两个根，此两根为cosα，cosβ，解一元二次方程可得出cosα，cosβ的值，再解出两角的正弦值，代入cos（α+β）的展开式，即可求cos（α+β）的值
【解析】
（1）∵
∴
令t=cosx，
当时，，且t=cosx为减函数
又在上时减函数，
∴f（x）在上是增函数
当时，，且t=cosx为减函数
又在上时增函数，
∴f（x）在上是减函数
综上，f（x）的单调区间为，
（2）法一：由f（x）=0得，，即
令t=cosx，则cosα，cosβ是方程的两个根，从而
sin2α•sin2β=（1-cos2α）（1-cos2β）=1-（cos2α+cos2β）+cos2α•cos2β=
∴，
∴
法二：由f（x）=0得，，即
不妨设，
则，
∴