Question

已知数据x₁，x₂，x₃，…，x₁₀的平均数为6，标准差为，则数据x₁，x₂，…，x₅的平均数的取值范围是    ．

Answer

法一：设x1，x2，…，x5的平均数为a，x6，x7，…，x10的平均数为b，则b=12-a，利用条件：“数据x1，x2，x3，…，x10的平均数为6，标准差为，”得出关于a的不等关系，最后解一个二次不等式即可；
法二：（运用柯西不等式）设x1，x2，…，x5的平均数为a，x6，x7，…，x10的平均数为b，则b=12-a，利用柯西不等式得出：x12+x22+…+x102≥5a2+5（12-a）2，解之即可．
【解析】
由（x1-6）2+（x2-6）2+…+（x10-6）2=20，
得：x12+x22+…+x102-12（x1+x2+…+x10）+360=20
即 x12+x22+…+x102=380
设x1，x2，…，x5的平均数为a，x6，x7，…，x10的平均数为b，则b=12-a
结合方差定义   （x1-a）2+（x2-a）2+…+（x5-a）2≥0
展开得：x12+x22+…+x52-2a（x1+x2+…+x5）+5a2≥0
即  x12+x22+…+x52-2a•5a+5a2≥0，x12+x22+…+x52≥5a2，
同理x62+x72+…+x102≥5b2=5（12-a）2
得：x12+x22+…+x102≥5a2+5（12-a）2，即  380≥5a2+5（12-a）2a2-12a+34≤0得
另【解析】
（运用柯西不等式）
设x1，x2，…，x5的平均数为a，x6，x7，…，x10的平均数为b，则b=12-a
由 ，
得：x12+x22+…+x102≥5a2+5（12-a）2，即  380≥5a2+5（12-a）2a2-12a+34≤0得