2010-2011学年福建省莆田一中高二（下）第一学段考试数学试卷（选修2-1、2-2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

方程x= 所表示的曲线是（ ）
A．双曲线
B．椭圆
C．双曲线的一部分
D．椭圆的一部分

2. 难度：中等

已知函数f（x）=x³的切线的斜率等于1，则这样的切线有（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．不确定

3. 难度：中等

对于空间三个向量、、，它们一定是（ ）
A．共线向量
B．不共线向量
C．共面向量
D．不共面向量

4. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论：
①函数f（x）在区间（-3，1）内单调递减；
②函数f（x）在区间（1，7）内单调递减；
③当x=-3时，函数f（x）有极大值；
④当x=7时，函数f（x）有极小值．
则其中正确的是（ ）

A．②④
B．①④
C．①③
D．②③

5. 难度：中等

从点A（2，-1，7）沿向量的方向取线段长，则B点坐标为（ ）
A．（-9，-7，7）
B．（18，17，-17）
C．（9，7，-7）
D．（-14，-19，31）

6. 难度：中等

已知函数，那么下面结论正确的是（ ）
A．f（x）在[0，x]上是减函数
B．f（x）在[x，π]上是减函数
C．∃x∈[0，π]，f（x）＞f（x）
D．∀x∈[0，π]，f（x）≥f（x）

7. 难度：中等

椭圆=1的长轴为A₁A₂，短轴为B₁B₂，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A₁点在平面B₁A₂B₂上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（ ）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°

8. 难度：中等

设F为抛物线y²=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若=0，则的值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9

9. 难度：中等

定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）满足f′（x）•x＜f（x）且f（2）=0则＜0的解集为（ ）
A．（0，2）
B．（0，2）∪（2，+∞）
C．（2，+∞）
D．∅

10. 难度：中等

设F₁、F₂是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点）且|PF₁|=λ|PF₂|则λ的值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知双曲线的一个焦点为F（0，2），则m=    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，则b=    ．

13. 难度：中等

函数y=f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y=-x+8，则f（5）+f′（5）=    ．

14. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是棱BB₁、B₁C₁的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD₁与DM所成的角为    ．

15. 难度：中等

已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

	C1		C2
x	2		4	3
y	0		4	-2

则C₁、C₂的标准方程分别为    、    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知命题p：向量=（1，1，m）与向量=（-1，-1，|m|）平行．命题q：方程表示双曲线；若“¬p”和“p∨q”都为真，求m的取值范围．

17. 难度：中等

如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E、F、O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．
（I）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
（II）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+aln x．
（I）当a=-2时，求函数f（x）的极值；
（II）若g（x）=f（x）+在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a．
（I）若M是底面ABCD的一个动点，且满足|MB|=|MS|，求点M在正方形ABCD内的轨迹；
（II）试问在线段SD上是否存在点E，使二面角C-AE-D的大小为60°？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

椭圆C₁：与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的一个交点为M．抛物线C₂在点M处的切线过椭圆C₁的右焦点F．
（1）若M，求C₁和C₂的标准方程；
（II）若b=1，求p关于a的函数表达式p=f（a）．

21. 难度：中等

已知对任意的实数m，直线x+y+m=0都不与曲线f（x）=x³-3ax（a∈R）相切．
（I）求实数a的取值范围；
（II）当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上是否存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于．试证明你的结论．