Question

四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a．
（I）若M是底面ABCD的一个动点，且满足|MB|=|MS|，求点M在正方形ABCD内的轨迹；
（II）试问在线段SD上是否存在点E，使二面角C-AE-D的大小为60°？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

由题设条件及图形，本题中出现了同一点出发的三个线段两两垂直，故可以建立空间坐标系，利用向量解决问题，以D为原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，给出各点的坐标
（1）设M（x，y，0），则由|MB|=|MS|得，整理即可得到点M在正方形ABCD内的轨迹；
（2）假设存在，设，=（0，a，0）为平面ADE的一个法向量，设平面ACE的一个法向量为=（x，y，z），用引入的参数λ表示出平面ACE的一个法向量为，
再由二面角的大小是60°，建立方程求出参数λ的值，然后根据参数的值的范围确定出点E的位置，
【解析】
（1）以D为原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B（a，a，0），S（0，0，a），…（2分）
设M（x，y，0），则由|MB|=|MS|得…（4分）
化简得，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为△ACD平行于边AC的中位线．…（6分）
（2）假设存在，设，=（0，a，0）为平面ADE的一个法向量…（8分）
设平面ACE的一个法向量为=（x，y，z），则，
即，取z=1，得=（λ，λ，1），…（10分）
所以，又0≤λ≤1，解得，
故在线段SD上存在点E，，使二面角C-AE-D的大小为60．…（13分）