Question

椭圆C₁：与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的一个交点为M．抛物线C₂在点M处的切线过椭圆C₁的右焦点F．
（1）若M，求C₁和C₂的标准方程；
（II）若b=1，求p关于a的函数表达式p=f（a）．

Answer

（1）将点M代入C2，可求C2的方程；利用抛物线C2在点M处的切线过椭圆C1的右焦点F，求C1的标准方程；
（2）是（1）的一般情形，先设M，再求出C2在点M处的切线方程，从而构建p关于a的函数表达式，注意a的取值范围．
【解析】
（1）把M代入C2：x2=2py（p＞0）得，故C2：…（2分）
由得，从而C2在点M处的切线方程为…（4分）
令y=0有x=1，F（1，0），…（5分）
又M在椭圆C1上
所以，解得a2=5，b2=4，故C1：…（7分）
（2）设M，由得，
从而C2在点M处的切线方程为…（9分）
设F（c，0），代入上式得x=2c，
因为，所以…（11分）
又x2=2py，所以=，…（13分）
结合a＞b知，所以p=f（a）=（）．…（14分）